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Le Nombre d'Or
I) Présentation du nombre d'or :
1)Qu’est ce que le nombre d’or ?
Définit pour la première fois au 3ème siècle avant J.C., grâce au grec Euclide. Il en donne une explication mathématique :
En cherchant que les longueurs (a+b)/a=a/b où x= a/b et b prend l'unité 1.
Soit en d’autre terme x²-x-1=0.
Une des deux solutions qui est aussi l'unique solution positive est : x=1+√5/2. Soit la valeur exacte du nombre d’or.
Se note ɸ (se dit Phi) initiale de Phidias (sculpteur grec), qui au 5ème siècle décora le Parthénon d’Athènes.
Dans un rectangle, ɸ est le quotient entre la longueur et la largeur de manière à ce que ce rectangle est une forme esthétique (Longueur/1+√5/2=largeur). Ce nombre est utilisé dans plusieurs formes géométriques afin qu’elle nous semble des plus esthétique.(schéma du rectangle).
Voici ci-dessous 3 rectangles aux dimensions différentes : lequel est le plus beau selon vous ?
Vous avez très probablement préféré le rectangle A. En effet, c’est celui qui respecte les dimensions du nombre d’or.
Grâce au nombre d’or on peut tracer la spirale d’or, une spirale tout autant esthétique, en créant des carrés successifs d’aires proportionnelles en relation avec Phi. En effet on construit un premier carré d’aire 1, auquel on accole un carré d’aire 1/ (1+√5/2), puis un carré d’aire 1/ (1+√5/2 )², etc...
2) Histoire du nombre d’or :
Origine du nom :
Son nom évolue avec le temps, au 15ème siècle le mathématicien Luca Pacioli parle de « divine proportion », plus tard le physicien Johannes Kepler le cite comme « joyau de la géométrie », tandis que Léonard De Vinci parle de la « section dorée ». Ce n’est qu’en 1932 qu’on entend parler du terme « nombre d’or ».
Antiquité :
Plusieurs structures sont érigées selon le nombre d’or comme le Parthénon d’Athènes, le théâtre d’Epidaure ou bien certaines pyramides égyptiennes comme la Pyramide de Khéops. On retrouve déjà le nombre d’or dans l’art, sur différentes sculptures par exemple.
Le Moyen-Âge :
Leonardo Pisano aussi appelé Fibonacci, introduit la suite de Fibonacci en cherchant à décrire une évolution croissante (plus amples explications dans la prochaine partie). La création de la « ligne »,unité de mesure, établie en fonction de la suite de Fibonacci,elle reprend en effet certains nombre de la suite. Les maçons et architecte s’en servent pour bâtir des cathédrales idéales (ex:cathédrale de Chartres,…)
La Renaissance :
Au XVe siècle, Luca Pacioli, mathématicien et religieux, emploi et étudie la « divine proportion », en 1498 d’après l’homme de Vitruve, une première. Il y consacre d’ailleurs un livre : « De Divina Proportione ». On retrouve aussi le nombre d’or sur plusieurs œuvres de De Vinci (la Joconde, L’Homme de Vitruve,…), et sur d’autres œuvres de différents peintre (Boticelli, Raphaël,…)
De la Renaissance à de nos jours :
Le Corbusier, architecte Suisse de renommé , est connu pour avoir utilisé le nombre d’or dans ses constructions d’architecture moderne. Chez Picasso et Dali on retrouve, malgré leurs peinture aux dimensions altérées, le nombre d’or dans certaines de leurs œuvres.
Explication du raisonnement :
A la première étape, on a un couple de jeunes lapereaux, pas encore apte à ce reproduire. Dès la seconde étape, le couple est apte à ce reproduire. A la troisième étape, ils se reproduisent (on admet qu’il donne naissance à un autre couple), il y a donc 2 couples : le premier à maturité et le second, les jeunes lapereaux. A l’étape suivante, le couple le plus ancien donne encore naissance à deux lapereaux, le plus jeune arrive à maturité. On a donc 3 couples : le premier, le second arrivé à maturité et le troisième , tout jeunes
lapereaux. Ainsi à chaque étape les couples à maturité donnent naissance à un autre couple de lapereaux, les lapereaux déjà nés arrivent à maturité.
Par conséquent, cette croissance respecte la suite de Fibonacci.
Mais ce qui nous intéresse le plus dans cette suite , c’est son étroit lien avec le nombre d’or. En effet, on remarque que le rapport d’un nombre de la suite n+1, divisé par son antécédent dans la suite n, se rapproche de la valeur
décimale du nombre d’or soit environ 1,6180. Cette plus grande précision dans des plus haute valeur de n s’explique par La Loi Des Grands Nombre.
A priori, le nombre d’or semble être une constante car la valeur approximative que l’on trouve en manipulant la suite de Fibonacci est quasiment toujours la même.
3) La suite de Fibonacci :
Quelques nombres appartenant a la suite de Fibonacci :
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55
Soit la suite de Fibonacci la suite u
Elle est définit par un+1=un+un-1, et u0=1
Ex : Pour trouver le nombre u8=21, on fait u7+u6
soit 13+8
=21
C’est donc une suite logique de nombre que l’on peut retrouver dans différentes situation. En effet Fibonacci a trouvé cette suite, étroitement lié au nombre d’or, en décrivant la croissance d’une population de lapin.
